Цилиндр в геометрии 11 класс — определение, формула объема и поверхности, основные свойства и примеры задач

Цилиндр — это геометрическое тело, состоящее из двух параллельных плоскостей, называемых основаниями, и боковой поверхности, образованной прямыми линиями, соединяющими соответствующие точки этих оснований. Основание цилиндра представляет собой плоскую фигуру, которая может быть кругом или многоугольником.

Важно отметить, что цилиндр отличается от призмы, поскольку его основания геометрически корректными являются только, если оси симметрии цилиндра вертикальные.

Цилиндр имеет несколько основных свойств. Его объем можно вычислить с использованием формулы: объем = площадь основания * высота. Зная радиус R основания и высоту h цилиндра, можно использовать следующие формулы для вычисления площади поверхности и боковой поверхности цилиндра:

Площадь поверхности цилиндра: 2πR(R + h)

Площадь боковой поверхности цилиндра: 2πRh

Помимо этого, цилиндр имеет несколько характеристик, которые также отражают его свойства. Например, радиус R основания цилиндра и его высота h являются его характеристиками. Кроме того, цилиндр может быть прямым или косым, в зависимости от того, перпендикулярна ли его ось симметрии базам или нет.

Все эти свойства и характеристики цилиндра делают его важной фигурой в геометрии, которая широко используется в различных областях, таких как архитектура, инженерия и математика.

Что такое цилиндр в геометрии?

Цилиндр имеет два ключевых параметра — радиус окружности основания (R) и высоту (h). Расстояние между параллельными плоскостями, образующими основания, называется высотой цилиндра.

Цилиндры широко используются в различных областях науки и техники, включая машиностроение, архитектуру и физику. У них есть ряд уникальных свойств и характеристик, которые делают их полезными для различных приложений.

Основные элементы цилиндра

Основания цилиндра обладают следующими характеристиками:

• Радиус основания (R) — это расстояние от центра основания до любой точки на его окружности;
• Диаметр основания (D) — это расстояние между двумя точками на окружности основания, проходящими через ее центр;

Высота цилиндра (h) — это расстояние между плоскостями оснований.

Цилиндр также имеет:

• боковую поверхность — это поверхность, образованная прямыми линиями, соединяющими соответствующие точки окружностей оснований;
• объем — это количество пространства, занимаемое цилиндром, вычисляемое по формуле: V = πR^2h, где π — математическая константа pi;
• площадь боковой поверхности — это сумма площадей всех боковых поверхностей цилиндра, вычисляемая по формуле: Sбп = 2πRh, где R — радиус основания;
• полную площадь поверхности — это сумма площадей оснований и боковой поверхности цилиндра, вычисляемая по формуле: Sp = 2πR(R + h), где R — радиус основания.

Как определить объем цилиндра?

Для определения радиуса основания цилиндра можно использовать различные методы измерений, например, измерить диаметр основания и разделить его на 2, или использовать штангенциркуль для измерения самого радиуса. Высоту цилиндра можно измерить с помощью линейки или мерной ленты.

Зная значения радиуса и высоты цилиндра, можно подставить их в формулу для расчета объема и получить результат. Объем цилиндра измеряется в кубических единицах (например, кубических сантиметрах или кубических метрах) и представляет собой объем пространства, заключенного внутри цилиндрической фигуры.

Как определить площадь боковой поверхности цилиндра?

Для определения площади боковой поверхности цилиндра необходимо знать радиус основания (r) и высоту цилиндра (h). Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:

Sб = 2πrh

где π (пи) — это математическая константа, примерное значение которой равно 3,14159.

Для использования данной формулы необходимо умножить произведение радиуса основания на высоту цилиндра на 2π. Полученный результат будет площадью боковой поверхности цилиндра в заданных единицах измерения.

Как определить площадь полной поверхности цилиндра?

Площадь полной поверхности цилиндра можно определить, используя формулу. Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности.

1. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле:

Sб = 2πrh,

где Sб — площадь боковой поверхности, π — математическая константа, примерно равная 3,14159, r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

2. Площадь одного основания цилиндра можно найти по формуле:

Sосн = πr^2,

где Sосн — площадь одного основания, π — математическая константа, примерно равная 3,14159, r — радиус основания цилиндра.

3. Так как цилиндр имеет два основания, площадь двух оснований необходимо умножить на 2.
4. Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна:

Sп = 2Sосн + Sб,

где Sп — площадь полной поверхности, Sосн — площадь одного основания, Sб — площадь боковой поверхности.

Теперь вы знаете, как определить площадь полной поверхности цилиндра, используя соответствующие формулы. Не забывайте подставлять значения радиуса и высоты цилиндра для получения конкретного числового результата.

Свойство цилиндра: образование при сечении

Если плоскость сечения параллельна основанию цилиндра, то сечение будет представлять собой параллелограмм или прямоугольник, в зависимости от формы основания.

Если плоскость сечения наклонена к основанию цилиндра, то сечение будет являться эллипсом, кругом или неправильной фигурой, в зависимости от угла наклона плоскости.

Интересно отметить, что если сечение цилиндра провести плоскостью, проходящей через его ось, то получится две одинаковые фигуры — круги, или если основания цилиндра не равны, то эллипсы.

Образование при сечении цилиндра помогает нам лучше понять его структуру и геометрические свойства. Знание этих свойств поможет в решении задач на расчет объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности цилиндра.

Свойство цилиндра: поведение при изменении размеров

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = π * r² * h, где π — математическая константа (приблизительно равна 3,14), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Если увеличить радиус основания цилиндра, сохраняя при этом высоту неизменной, объем цилиндра также увеличится. Если увеличить высоту цилиндра, при этом сохраняя радиус основания неизменным, объем также увеличится. Это свидетельствует о том, что объем цилинда прямо пропорционален радиусу основания и высоте.

При уменьшении размеров цилиндра также сохраняется свойство пропорциональности объема. Например, если уменьшить радиус и высоту цилиндра в два раза, то его объем уменьшится в восемь раз (2³=8).

Из данного свойства следует, что при изменении размеров цилиндра его объем изменяется пропорционально квадрату изменения радиуса и высоты.

Примеры задач с цилиндром в геометрии

Задача 1:

Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен 5 см, а высота цилиндра равна 10 см.

Решение:

Боковая поверхность цилиндра представляет собой цилиндр, обернутый вокруг его оси, и имеет форму прямоугольника, изогнутого вдоль окружности основания. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле:

Sб = 2πrh

где Sб — площадь боковой поверхности,

π — математическая константа, приближенное значение которой равно 3,14,

r — радиус основания цилиндра,

h — высота цилиндра.

Подставляем значения в формулу:

Sб = 2 * 3,14 * 5 * 10 = 314 см².

Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра равна 314 см².

Задача 2:

Найти объем цилиндра, если радиус основания равен 3 см, а высота цилиндра равна 8 см.

Решение:

Объем цилиндра можно найти по формуле:

V = πr²h

где V — объем цилиндра,

π — математическая константа, приближенное значение которой равно 3,14,

r — радиус основания цилиндра,

h — высота цилиндра.

Подставляем значения в формулу:

V = 3,14 * 3² * 8 = 226,08 см³.

Ответ: объем цилиндра равен 226,08 см³.

Задача 3:

Найти длину образующей цилиндра, если радиус основания равен 4 см, а высота цилиндра равна 6 см.

Решение:

Образующая цилиндра является диагональю боковой поверхности и может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

l = √(r² + h²)

где l — длина образующей,

r — радиус основания цилиндра,

h — высота цилиндра.

Подставляем значения в формулу:

l = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52 ≈ 7,21 см.

Ответ: длина образующей цилиндра примерно равна 7,21 см.

Задача 4:

Найти площадь полной поверхности цилиндра, если радиус основания равен 2 см, а высота цилиндра равна 9 см.

Решение:

Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований, которые представляют собой круги.

Площадь боковой поверхности цилиндра уже была найдена в предыдущей задаче: Sб = 2πrh = 2 * 3,14 * 2 * 9 = 113,04 см².

Площадь основания цилиндра можно найти по формуле:

Sосн = πr²

где Sосн — площадь основания цилиндра,

π — математическая константа, приближенное значение которой равно 3,14,

r — радиус основания цилиндра.

Подставляем значения в формулу:

Sосн = 3,14 * 2² = 3,14 * 4 = 12,56 см².

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований:

Sп = Sб + 2Sосн = 113,04 + 2 * 12,56 = 138,16 см².

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна 138,16 см².